Dodecaedro Regular

Cálculo do Volume

Para dedução da formula do volume do dodecaedro em função da aresta vamos considerar um dodecaedro de aresta l com cubo inscrito de aresta d, cuja aresta coincide com a diagonal da face pentagonal regular do dodecaedro. Dividindo, assim, o solido platônico em um cubo de aresta d e seis sólidos congruentes

Como a aresta do cubo inscrito coincide com a diagonal do pentágono, temos o seguinte:
d = φl, onde φ é número de ouro.


Retirando o cubo, observe que cada sólido formado sobre as faces do cubo pode ser decomposto, poder meio de cortes perpendiculares a face quadrada, em um prisma de base triangular e as duas partes que sobram formam uma pirâmide de base retangular. Por meio desses cortes, obtêm-se segmentos como mostra a figura:

O dodecaedro é composto de um cubo e seis sólidos congruentes, que por sua vez, cada sólido é formado por um prisma e uma pirâmide. Então o volume do dodecaedro é dado pela soma dos volumes do cubo, das seis prismas e dos seis pirâmides.